> Czy po prawomocnym uniewinnieniu w sprawie karnej mam prawo domagać się
> zwrotu kosztów obrońcy z wyboru?

Tak. Vide:
http://prawoity.pl/wiadomosci/zwrot-kosztow-obroncy-
z-wyboru-w-procesie-karnym-w-razie-uniewinnienia-osk
arzonego

> Jeśli tak, to jak się tego domagać, od kogo, w jakim trybie?

K.p.k.:
Art. 626. § 1. W orzeczeniu kończącym postępowanie w sprawie sąd określa,
kto, w jakiej części i zakresie ponosi koszty procesu.

§ 2. Jeżeli w orzeczeniu wymienionym w § 1 nie zamieszczono rozstrzygnięcia
o kosztach, jak również gdy zachodzi konieczność dodatkowego ustalenia ich
wysokości lub rozstrzygnięcia o kosztach postępowania wykonawczego,
orzeczenie w tym przedmiocie wydaje odpowiednio sąd pierwszej instancji lub
sąd odwoławczy.

§ 3. Na orzeczenie w przedmiocie kosztów służy zażalenie, jeżeli nie
wniesiono apelacji. W razie wniesienia apelacji i zażalenia - zażalenie
rozpoznaje sąd odwoławczy łącznie z apelacją.

Ale uwaga, zgodnie z art. 459 par. 3 kpk na zazalenie masz tylko 7 dni od
ogłoszenia wyroku.

Marcin.